§ 7. Равномерное прямолинейное движение

Равномерным движением называется такое движе-ние, при котором точка за любые равные интервалы времени проходит равные пути.

При равномерном движении модуль скорости не изменяется: || = const, т.е. t = 0.

При равномерном прямолинейном движении не изменяется ни модуль, ни направление скорости (таблица 1):

, т.е. ср = мгн = const.

Из формул (1, 2, 3) получим для равномерного прямолинейного движения:

вектор скорости , (13)

модуль скорости , (14)

проекция вектора скорости (на ОХ) . (15)

Из формулы модуля скорости (14) путь равномерного движения прямо пропорционален времени движения:

S = v (t – t0). (16)

Из формулы (13) получим уравнение равномерного прямолинейного движения материальной точки:

(17)

или

Пример. При равномерном прямолинейном движении в положительном направлении оси ОХ (движение от начала отсчета) проекция вектора скорости – положительное число vx > 0 (рис. 20). Уравнение движения и формула пути будут:

(18)

1

Рис. 20

1

Рис. 21

При равномерном прямолинейном движении в направлении, противоположном положительному направлению оси ОХ (движение к началу отсчета), проекция скорости – отрицательное число vx < 0 (рис. 21). Уравнение движения и формула будут:

(19)

Примечание. Уравнение можем получить по-другому. Нам известно, что компонента скорости по координате x постоянна и равна v, т.е.

dx = v•dt.

Интегрируя, получим:

, где С – постоянная интегрирования.

Если нам известно, что x = x0 при t = t0, то, подставляя эти значения в уравнение, найдем С:

x0 = vt + C C = x0 – v0t0.

Итак, уравнение равномерного прямолинейного движения материальной точки вдоль оси ОХ:

x = vt + x0 – vt0 x = x0 + v (t – t0). (См. § 3, примечание.)

Таблица 2

Формулы равномерного прямолинейного движения
= const = const
S = v (t – t0)
 

Графики зависимости скорости, проекции скорости,пути и координаты от времени для равномерного прямолинейного движения

График скорости v = v(t)

1

Рис. 22

= const

График скорости равномерного движения – прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси t).

По графику v = v(t) можно найти пройденный путь за интервал времени t: он численно равен площади фигуры ОАВС (прямоугольника):

q (площадь прямоугольника OABC) = OA • OC v1 • t1 S

График пути S = S(t)

1

Рис. 23

S = v • t, где v = const

График пути равномерного движения – прямая линия, которая образует угол с осью времени.

На этом графике , но v ~ tg (скорость равномерного движения пропорциональна тангенсу угла , который график пути составляет с осью времени).

График зависимости координаты точки от времени: x = x(t)

Уравнение x = x0 + vx (t – t0) – линейная функция, поэтому график x = x(t) – прямая линия, которая образует угол с осью времени.

1

Рис. 24

1

Рис. 25

На графике x = x(t): , где v ~ tg.

При решении более сложных задач надо учитывать не только модули скорости и ускорения, но и направления этих векторов.

Пример 1. Две материальные точки движутся равномерно прямолинейно со скоростями v1 = v2 = 2 м/с так, как показано на рисунке. Построить графики зависимости проекции скорости, координаты и пути в интервале t [0; 4 с]. Начальная координата x0 = 6 м при t0 = 0. Определить пройденный путь S1 и S2.

Дано: x0 = 6 м; t0 = 0

v1 = v2 = 2 м/с

v1x = 2 м/с

v2x = –2 м/с

t = 4 c

Построить: v1x = v1x(t); v = v(t)

x = x(t); S = S(t)

S1 = ? S2 = ?

1

Решение

Построим график зависимости проекции скорости от времени движения, учитывая, что

|1| = const и v1x > 0

|2| = const и v2x < 0

1

При равномерном движении, учитывая, что v = 2 м/с, формула пути для т. I и т. II будет формула 16):

S = vt; S = 2t; S = 2•4 = 8 (м).

Напишем уравнения движения этих материальных точек (17, 18, 19):

x = x0 + vx (t – t0)

Подставив кинематические характеристики движения т. I и т. II, получим уравнения:

I II
t01 = 0

x01 = x0 = 6 м

v1x = v1 = 2 м/с

t01 = 0

x02 = x0 = 6 м

v2x = v2 = 2 м/с

x1 = x01 + v1x (t – t01) x1 = x01 + v1x t x1 = 6 + 2t

x2 = x02 + v2x (t – t02) x2 = x02 – v2x t x2 = 6 – 2t

Построим графики зависимости пути и координат от времени для этих движений.

Вывод: График зависимости проекции скорости от времени движения дает более полное описание движения, так как не только определяет вид движения, но и направление движения (если vx > 0 – то движение в положи-тельном направлении оси координат; если vx < 0 – то движение противопо-ложно положительному направлению оси координат).

Пример 2. Дан график зависимости координаты движения от времени. Построить график проекции скорости и пути от времени движения для t [0; 8 с].

Дано: x = x(t);

t [0; 8 с]

Построить: vx = vx(t);

S = S(t)

Для 0 t 2 с график координаты – прямая линия, следовательно, движение равномерное и прямолинейное.

Определим проекцию скорости формула 15):

, = –2 м/с < 0.

Движение происходит в направлении, противоположном положитель-ному направлению оси ОХ (координата уменьшается).

Формула пути (14):

S1 = v1t S1 = 2t

при t = 2 с, S1 = 2 м/с • 2 с = 4 м.

Для 2 t 6 с – координата не изменяется – тело не движется:

v2x = 0 и S2 = 0 Sобщ = S1 + S2 Sобщ = 4 м.

Для 6 t 8 с – график координаты – прямая линия. Следовательно, движение равномерное прямолинейное в направлении оси ОХ, так как коор-дината увеличивается.

Определим ; = 2 м/с > 0.

Формула пути (14):

S3 = v3 (t – t03) S = 2 м/с (t – 6 с) S = 2 м/с (8–6) с = 4 м.

Путь за 8 с равен: S = S1 + S3 = 8 (м).

Построим графики зависимости проекции скорости и пути от времени для этого движения.

1

Вопросы

1. Какое движение называется равномерным? равномерным прямоли-нейным?

2. Что характерно для равномерного движения? для равномерного пря-молинейного движения?

3. Какая зависимость пути и координаты при равномерном прямоли-нейном движении?

4. Напишите уравнение равномерного прямолинейного движения.

Задачи

1. Скорость точки равна 72 км/ч. Выразить эту скорость в м/с.

2. Скорость точки равна 5 м/с. Выразить эту скорость в км/ч.

3. Две точки движутся по оси x.

Уравнения движения точек:

x1 = 5 + 2t,

x2 = 5 – t.

Найти: x01; x02; vx1; vx2.

Построить графики зависимости координаты, пути и проекции скорости на ось х от времени: x1,2(t); S1,2(t); v1,2(t).

4. Две точки движутся по оси х.

Уравнения движения точек:

x1 = 4 + 2t,

x2 = 11 – 5t.

Найти время и координату встречи. Сделать рисунок. Построить гра-фики S = S(t), x = x(t).

5. Дан график зависимости координаты движения точки от времени. Написать уравнения движения точки x(t) для интервалов времени:

1

t1 [0; 2 с]

t2 [2 с; 6 с]

t3 [6 с; 8 с]

Построить график vx(t), t [0; 8 с]. Найти путь и перемещение точки за интервал времени t I [0; 8 с].

6. Дан график зависимости проекции скорости на ось х от времени vx(t).

Построить график зависимости координаты точки от времени x(t), если x0 = 2 м и график зависимости пути от времени для интервала времени

t [0; 8 с].

Найти модуль перемещения точки за 8 с.

1

7. Тело движется равномерно под углом 30° к горизонту. Скорость тела 54 км/ч. На какую высоту поднимется тело за 30 секунд?

7.1 Примеры решения задач

(равномерное прямолинейное движение)

Методические указания

Задачи по кинематике (равномерное прямолинейное движение) можно решать аналитическим методом (применяя формулы данного движения табллица 2), графическим методом (надо знать графики простейших элементарных функций §7), координатным методом.

Для решения задач координатным методом следует (алгоритм решения):

– Выбрать тело отчета и связать с ним систему координат, направление осей координат, момент начала отчета времени.

Прямолинейное движение удобно рассматривать в системе координат, одну из осей которой лучше направить по направлению движения тела (или одного из тел).

– Сделать рисунок и проанализировать характер движения, кинематические характеристики движения.

– Записать уравнения равномерного прямолинейного движения, определяющие положение материальной точки в любой момент времени, в векторной записи (и в проекции на оси координат) – §7 (17).

– Решить полученное уравнение (или систему уравнений). Надо проверить равно ли число уравнений числу неизвестных.

– Задачу следует решать в общем виде, что позволяет проверить правильность решения.

Приступая к решению задач по данной теме повторите теорию §7 и тему «Векторы. Действия с векторами» – §18.

Задача 1

Две точки движутся по оси х.

Уравнения движения точек:

x1 = 4 + 2t,

x2 = 11 – 5t.

Найти время и координату встречи. Сделать рисунок. Построить гра-фики S = S(t), x = x(t).

Дано:

x1 = 4 + 2t

x2 = 11 – 5t

Решим задачу координатным методом, так как даны уравнения движения двух материальных точек.
Нарисуем ось ОХ, совпадающую с траекторией движения этих точек (тел).
Они движутся равномерно и прямолинейно, так как x = f(t) – линейная функция (x = x0 + vxt) (17). Из первого уравнения запишем кинематические характеристики:

x01 = 4 м; t01 = 0; v1x = 2 м/с, .

Найти: Время и координату встречи

(tвстречи = ? xвстречи = ?)

Сделать рисунок.

Построить графики x1 = f(t) и x2 = f(t)

Из второго уравнения запишем: x02 = 11 м; t02 = 0; v2x = –5 м/с, .

Вывод:
1) первая точка движется равномерно прямолинейно в положительном направлении оси ОХ (от начала отсчета) (рис. 20).

2) вторая точка движется равномерно прямолинейно противоположно положительному направлению оси ОХ (к началу отсчета) (рис. 21).

Сделаем рисунок. Тела встречаются, и в момент встречи (т. С) их коор-динаты (расстояние от т. О) равны:

x1(OC) = x2(OC)

4 + 2t = 11 – 5t; 7t = 7; tвстречи = 1 (с).

Найдем координату места встречи (т. С): x1 = 4 + 2tвстречи; x1 = 4 + 2 • (1 c) = 6 (м), или x2 = 11 – 5tвстречи; x2 = 11 – 5 • (1 c) = 6 (м).

Итак, встреча произошла в т. С, расположенной от начала координат на расстоянии 6 м.

Построим графики x1 = f(t) и x2 = f(t) (§ 7).

x1 = 4 + 2t

x2 = 11 – 5t

t (c) 0 1 2
x1 (м) 4 6 8
x2 (м) 11 6 8

1

Координаты т. С (1; 6) дают ответ на поставленные вопросы. Итак, встреча произошла через 1 с на расстоянии 6 м вдоль траектории от начала отсчета.

Задача 2

Дан график vx = f(t); x0 = 2 м; t0 = 0.

Построить графики: S = f(t) и x = f(t).

1

Решение

1) В интервале 0 t 2 с движение равномерное прямолинейное (в положительном направлении оси ОХ), т.к. v1x = 2 м/с = const ? S1 = v1t1 = 2t1.

При t1 = 2 с, S1 = 4 м.

Уравнение движения:

x1 = x01 + v1xt; x1 = v1xt = 2t.

Если t1 = 2 c, то x1 = 4 м.

1

2) В интервале 2 t 4 с движение равномерное прямолинейное в положительном направлении оси ОХ, т.к. v2x = 1 м/с = const, тогда S2 = v2(t – t02); S2 = 1 • (t – 2).

При t2 = 4 c, S2 = 1 • (4 – 2) = 2 м, и S = S1 + S2 = 4 м + 2 м = 6 м.

Уравнение движения:

x2 = x02 + v2x(t – t02); x2 = x1 + v2x(t – t02);

x2 = 4 + 1 (t – 2); x2 = 4 + 1 (4 – 2) = 6 м.

3) В интервале 4 t 6 с v3x = 0 (тело не движется). Координата не изменяется. Путь S3 = 0.

4) В интервале 6 t 8 с движение равномерное в направлении, противоположном положительному направлению оси ОХ, т.к. v4x = –2 м/с. Путь S4 = v4(t – t04), S4 = 2 (t – 6). При t = 8 с, S4 = 2 (8 – 6) = 4 м и Sобщ = S1 + S2 + S3 + S4 = 4 + 2 + 4 = 10 м; x4 = x04 + v4x(t – t4), x04 = 6 – 2 (t – 6).

Построим графики зависимости пути и координаты от времени для этого движения.