Фаминский Андрей Вадимович
РУДН - участник государственной программы Российской Федерации 5 - 100
Нелинейные эволюционные уравнения

Цели и задачи дисциплины.

 Обучение современным достижениям теории эволюционных уравнений с частными производными с упором на уравнения нечетного порядка: свойствам функциональных пространств эволюционного типа, теории полугрупп, теории краевых задач для уравнения Кортевега – де Фриза.

 Место дисциплины в структуре ООП.

Дисциплина по выбору студента.

Необходимы знания по математическому анализу, функциональному анализу, обыкновенным дифференциальным уравнениям, дифференциальным уравнениям в частных производных. 

Требования к результатам освоения дисциплины.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций (указываются в соответствии с ОС ВО РУДН)

         ·        способность к абстрактному мышлению, анализу, синтезу (ОК-1)

·        готовность действовать в нестандартных ситуациях, нести социальную и этическую ответственность за принятые решения (ОК-2)

·        готовность к саморазвитию, самореализации, использованию творческого потенциала (ОК-3)

·        способность находить, формулировать и решать актуальные и значимые проблемы фундаментальной и прикладной математики (ОПК-1)

·        способность создавать и исследовать новые математические модели в естественных науках (ОПК-2)

·        способность к интенсивной научно-исследовательской работе (ПК-1)

·        способность к организации научно-исследовательских и научно-производственных работ, к управлению научным коллективом (ПК-2)

·        способность к применению методов математического и алгоритмического моделирования при решении теоретических и прикладных задач (ПК-4)

·        способность к творческому применению, развитию и реализации математически сложных алгоритмов в современных программных комплексах (ПК-5)

·        способность к собственному видению прикладного аспекта в строгих математических формулировках (ПК-6)

·        способность формулировать в проблемно-задачной форме нематематические типы знания (в том числе гуманитарные) (ПК-8)

·        способность различным образом представлять и адаптировать математические знания с учетом уровня аудитории (ПК-9)

·        способность к проведению методических и экспертных работ в области математики (ПК-12)

 В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: основные свойства пространств эволюционного типа, теорию полугрупп.

Уметь: применять свойства пространств эволюционного типа и теорию полугрупп для исследования краевых задач для эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными.

 Владеть: современным математическим аппаратом исследования краевых задач для эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными.

БРС

В каждом семестре на итоговый контроль знаний отводится 50 баллов, ещё 50 баллов отводится на посещение занятий и выполнение домашних заданий. Итоговая сумма баллов в каждом семестре – 100.

 

Соответствие систем оценок (используемых ранее оценок итоговой академической успеваемости, оценок ECTS и балльно-рейтинговой системы (БРС) оценок текущей успеваемости) (В соответствии с Приказом Ректора №996 от 27.12.2006 г.):

Баллы

БРС

Традиционные

оценки в РФ

Баллы для перевода

оценок

Оценки

Оценки

ECTS

86 – 100

5

95 - 100

5+

A

86 - 94

5

B

69 – 85

4

69 - 85

4

C

51 – 68

3

61 - 68

3+

D

51 - 60

3

E

0 – 50

2

31 - 50

2+

FX

0 - 30

2

F

 

 

  1. Студенты обязаны сдавать все задания в сроки, установленные преподавателем.
  2. Отсрочка в сдаче домашнего задания считается уважительной только в случае болезни студента, что подтверждается наличием у него медицинской справки.
  3. Студент допускается к итоговому контролю с любым количеством баллов, набранным в семестре, но при условии, что у него имеется теоретическая возможность получить не менее 31 балла.
  4. Если в итоге за семестр студент получил менее 31 балла, то ему выставляется оценка F и он должен повторить дисциплину в установленном порядке. Если же в итоге студент получил не менее 31 балла, т.е. Fx, то ему разрешается добор необходимого (до 51) количества баллов путём повторного одноразового выполнения предусмотренных итоговых контрольных мероприятий; при этом аннулируются, по усмотрению преподавателя,  соответствующие предыдущие результаты. Ликвидация задолженностей проводится в период с 07.02 по 28.02 (с 07.09 по 28.09) по согласованию с деканатом.
  5. Итоговая контрольная работа (итоговый контроль) содержит от 3 до 6 вопросов (или заданий). На подготовку к ответу отводится 1 час, после чего производится устный опрос студента. Оценивается работа из 60 баллов независимо от оценки, полученной в семестре.

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 

а) основная литература:

1.  Фаминский А.В. Функциональные пространства эволюционного типа. Изд-во РУДН, 2011.

2.  Фаминский А.В. Избранные главы теории эволюционных уравнений. Изд-во РУДН, 2014.

б) дополнительная литература:

 

  1. Иосида К. Функциональный анализ. Москва: Изд-во ЛКИ, 2007 г.
  2. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. Москва: Мир, 1978.
  3. Кружков С.Н., Фаминский А.В. Обобщенные решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза. Математический сборник, 1983, т. 120, № 3, с. 396-425.
  4. Фаминский А.В. Смешанные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза. Математический сборник, 1999, т. 190, № 6, с.127-160.
  5. Kenig C.E., Ponce G., Vega L. Well-posedness and scattering results for the generalized Korteweg-de Vries equation via the contraction principle. Communications in Pure and Applied Mathematics, 1993, v.43, p.527-620.

 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ПО ТЕМАМ ДИСЦИПЛИНЫ

Тема 1. Функциональные пространства эволюционного типа

 

1.    Сформулируйте определение измеримости по Бохнеру.

2.    Сформулируйте теорему Петтиса.

3.    Сформулируйте теорему о предельном переходе для последовательности измеримых по Бохнеру функций.

4.    Сформулируйте теоремы о связи измеримости по Бохнеру и по Лебегу. Какое определение является более сильным?

5.    Сформулируйте определение *-слабой измеримости. Когда оно совпадает с интегрируемостью по Бохнеру?

6.     Сформулируйте определения операторов сдвига, дифференцирования,  умножения на функции полиномиального роста, преобразования Фурье в пространстве распределений. Будут ли эти операторы линейными и непрерывными в пространстве распределений?

7.    Сформулируйте определение интегрируемости по Бохнеру и интеграла Бохнера.

8.    Сформулируйте критерий интегрируемости по Бохнеру.

9.    Сформулируйте теорему о предельном переходе под знаком интеграла Бохнера.

10.  Сформулируйте теорему о действии линейного непрерывного оператора на интеграл Бохнера и следствия из неё.

11.  Дайте определение пространств суммируемых функций.

12.  Сформулируйте теорему о полноте пространств суммируемых функций.

13.  Дайте определение суммируемой функции и сформулируйте теорему о полноте множества таких функций.

14.  Сформулируйте теорему о сепарабельности пространств суммируемых функций. Насколько существенно условие конечности степени суммируемости?

15.  Сформулируйте теорему о непрерывности «в среднем»  суммируемых функций.

16.  Дайте определение точки Лебега и сформулируйте теорему об этих точках.

17.  Сформулируйте неравенство Гёльдера и следствия из него.

18.  Сформулируйте теоремы о пространстве функций, сопряжённых к пространству суммируемых функций.

19.  Приведите другой пример неравенства Гёльдера.

20.  Опишите связь между интегрируемостью по Бохнеру и по Лебегу для числовых функций.

21.  Дайте определение сильной и слабой непрерывности.

22.  Сформулируйте теорему о сепарабельности множества значений слабо непрерывной функции.

23.  Сформулируйте теорему о полноте пространств сильно и слабо непрерывных функций.

24.  Сформулируйте теорема Арцела-Асколи.

25.  Сформулируйте теорему о полной системе в пространстве непрерывных функций.

26.  Дайте определение сильной и слабой дифференцируемости.

27.  Приведите свойства пространств сильно и слабо дифференцируемых функций.

28.  Сформулируйте терему о полной системе в пространстве непрерывно дифференцируемых функций.

29.  Сформулируйте теорему о плотности пространств непрерывно дифференцируемых функций в пространствах суммируемых функций.

30.  Дайте эквивалентные определения обобщённой производной по Соболеву.

31.  Приведите теоремы вложения пространств функций с обобщённой производной.

32.  Сформулируйте теоремы о компактности множеств в пространствах суммируемых функций.

33.  Дайте определение пространств Соболева и приведите их свойства.

34.  Приведите теоремы о плотности пространства непрерывно дифференцируемых функций в пространствах Соболева.

 

Тема 2. Полугруппы и группы операторов

 

1.      1. Дайте определение непрерывной полугруппы и её генератора.

2.     2. Сформулируйте результат об области определения генератора и его замкнутости.

3.     3. Сформулируйте теорему о единственности полугруппы.

4.     4.  Сформулируйте теорему Хилле-Иосиды.

5.     5. Приведите определение w-диссипативного оператор и сформулируйте теорему Люмера-Филлипса.

6.     6.  Дайте определение непрерывной группы и её генератора.

7.     7. Сформулируйте результат об области определения генератора группы и его замкнутости.

8.    8.   Сформулируйте аналог теоремы Хилле-Иосиды для групп.

9.     9. Сформулируйте теорему Стоуна для групп унитарных операторов.

10.  10Сформулируйте теорему Стрихартца.

 

Тема 3. Задача Коши для эволюционных уравнений

 

1. Сформулируйте теорему существования и единственности классического решения абстрактной задачи Коши.

2. Приведите различные подходы к понятию обобщённого решения абстрактной задачи Коши и их связь с понятием классического решения.

3. Сформулируйте теорему о существовании и единственности обобщённого решения абстрактной задачи Коши.

4. Опишите физический смысл уравнения Кортевега-де Фриза. Напишите для него законы сохранения.

5. Опишите полугруппу для решения задачи Коши для линеаризованного уравнения Кортевега-де Фриза. Какие свойства решений вытекают из общей теории полугрупп?

6. Сформулируйте лемму Ван дер Корпута.

7. Определите функцию Эйри и опишите её свойства.

8. Сформулируйте оценку Стрихартца для решений задачи Коши для линеаризованного уравнения Кортевега-де Фриза.

9. Опишите свойство локального сглаживания  решений задачи Коши для линеаризованного уравнения Кортевега-де Фриза.

10. Сформулируйте оценку для максимальных функций для решений задачи Коши для линеаризованного уравнения Кортевега-де Фриза.

11. Введите класс корректности решений задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза и опишите его свойства.

12. Сформулируйте теорему о корректной разрешимости задачи Коши для линеаризованного уравнения Кортевега-де Фриза.

13. Приведите аналоги законов сохранения для линеаризованного уравнения Кортевега-де Фриза.

14. Сформулируйте определение обобщённого решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза и обоснуйте его корректность.

15. Каковы свойства обобщённых решений задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза вытекают из определения.

16. Сформулируйте теорему единственности решений задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза.

      17. Сформулируйте теорему существования глобальных решений задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза. Опишите два основных этапа её                                  доказательства.

 

перечень заданий для самостоятельной работы по темам дисциплины

1. Теорема Петтиса.

2. Связь измеримости по Бохнеру и измеримости по Лебегу..

3. Свойства *-слабо измеримых функций.

4. Полнота пространств суммируемых функций.

5. Теорема о сопряжённом пространстве для пространства суммируемых функций.

6. Связь понятий интегрируемости по Бохнеру и по Лебегу для числовых функций.

7. Теорема Арцела-Асколи.

8. Теорема о полной системе в пространстве непрерывных функций со значениями в банаховом пространстве

9. Теорема о полной системе в пространстве непрерывно дифференцируемых функций со значениями в банаховом пространстве.

10. Теорема о плотности пространства непрерывно дифференцируемых функций в пространстве суммируемых функций.

11. Обобщённые производные высоких порядков.

12. Теоремы о компактных множествах в пространствах суммируемых функций.

13. Теорема о плотности пространства непрерывно дифференцируемых функций в пространстве Соболева для функций со значениями в банаховом пространстве.

14. Теоремы о плотности функций с компактным носителем в пространстве Соболева для функций с нулевым значением на концах интервала определения.

15. Теорема Хилле-Иосиды для полугрупп операторов.

 16. Аналог теоремы Хилле-Иосиды для групп операторов.

 

 1. Программа курса, литература.

2. Календарный план.

3. Балльно-рейтинговая система, 1-ый семестр2-ой семестр.

4. Вопросы к итоговому контролю знаний, 1-ый семестр2-ой семестр.

 

Микроблог:

2018-06-14 14:45:42
Консультация для группы НМ-201 по
Комплексному анализу состоится
18.06 в 10-00.


Показать все записи

На портал | На форум | Web-Тестирование | Ред. кабинета | Успеваемость |